TEOREMA DE THALES

Primer Teorema de Tales

 

Una aplicación del Teorema de Tales.

TEOREMA DE TALES

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

 

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.

A Tales se le atribuyen los cinco teoremas siguientes:

• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
• Un círculo es bisecado por algún diámetro.
• Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.
• Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
• Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos en base a los conocimientos adquiridos en Egipto. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra: Elementos, pero se debe a Thales el mérito de haber introducido en Grecia, el interés por los estudios geométricos.

Es considerado el primer matemático, padre de la geometría deductiva. La tradición le atribuye los cinco teoremas siguientes, que posiblemente aprendió en sus viajes como comerciante por Babilonia, e incluso alguna demostración del último de ello

Teoremas

·         Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

·         Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.

·         Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.

·         Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don congruentes.

·         Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

El teorema de Thales dice que el ángulo A es recto, pues está inscrito en una semicircunferencia

Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

Según este teorema, una familia de rectas paralelas, r1, r2, r3,…, que cortan a dos rectas concurrentes, s y t, determinan en ellas segmentos proporcionales:

 

Aplicaciones del Teorema de Thales

1.    Si una recta es paralela a uno de los lados de un triangulo y corta a los otros dos lados, entonces divide a estos dos lados en segmentos proporcionales.

 

 

La bisectriz del ángulo de un triángulo divide al lado sobre el cual se traza, en segmentos proporcionales.

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Lineas y Puntos Notables del triángulo

Elementos notables de un triángulo

1.-Medianas y centro de gravedad
 

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, G en la figura, llamado centroide o baricentro del triángulo. Si éste es de densidad homogénea, entonces el centroide G es el centro de masas del triángulo.

Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales. Demostración: es obvio, por simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo cualquiera con sus tres medianas puede transformarse en un triángulo equilátero con su tres medianas mediante una transformación afín o una transformación lineal. El jacobiano (el factor por el que aumentan o disminuyen las áreas) de una transformación afín es el mismo en cualquier punto, de lo que se deduce la proposición que encabeza este párrafo.

 

2.-Mediatrices y circunferencia circunscrita
 

Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de las mediatrices de sus lados [AB], [AC] y [BC].

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto Ω equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro Ω y radio ΩA que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.

• En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
• En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Propiedad:Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el centro de su lado mayor.

3.-Bisectriz y circunferencia inscrita

Bisectrices y circunferencia inscrita de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos.

Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

 

4.-Alturas y ortocentro

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres líneas que pasan por un vértice del triángulo y son perpendiculares a la cara opuesta al vértice. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.

Estas 3 alturas se cortan en un punto único H llamado ortocentro del triángulo.

Notas:

• Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es uno de los vértices del triángulo
• Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo
• Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo

5.-Recta de Euler

 Los tres puntos H, G y Ω están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:

 

Los tres puntos H, G y Ω están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH] están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

 

Luego de ver el video, y leer la información respectiva, en tu portafolio realiza el trazado de cada una de las líneas y puntos notables del triángulo.

Emite tu comentario acerca de lo aprendido en la lección.

 

Teorema de Pitágoras

Como vemos el triangulo de ángulo recto se compone de tres lados o partes. Tenemos la Hipotenusa que SIEMPRE será el lado con mayor longitud. El Cateto Opuesto que comprenderá el lado en el cual se encuentra el ángulo de noventa grados y el Cateto Adyacente que podemos compararla como la base del triangulo.

El Teorema de Pitágoras se comprende de la siguiente fórmula:

Que es la Trigonometría?

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

                                                

Co-razón trigonométrica (Co-R.T.) 

 

Cada razón trigonométrica (lo abreviaremos por R.T.) tiene su correspondiente co-razón trigonométrica (lo abreviaremos por Co-R.T.).

 

Por ejemplo de vemos que: de la R.T. seno su Co-R.T. es el coseno

                                                  de la R.T. tangente su Co-R.T. es la cotangente
                                             de la R.T. secante su Co-R.T. es la cosecante

Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Pero ¿Qué pasa si los ángulos están expresados en radianes o en grados centesimales?

Caso I: Si α y β están expresados en grados sexagesimales.

                                              

Caso II: Si α y β están expresados en radianes.

 

Caso III: Si α y β están expresados en grados centesimales.

 

Razones trigonométricas de ángulos complementarios:

Si α y β son ángulos agudos, entonces α y β son complementarios si y solo si:

"La razón de un ángulo es igual a la co-razón de su ángulo complementario"

Ejemplo : Hallar la R.T. equivalente del Seno de 30°
Solución  De  sabemos que la Co-razon del Seno es el Coseno.
Si suponemos que el ángulo α es 30° entonces de  vemos que el ángulo β es 60°.
Sustituyendo lo deducido en

 

Trigonometría de ángulos rectos



 

Las seis relaciones trigonométricas:

Para aprender esto de forma ligera y fácil existe el “shortcut” de estas relaciones llamado:

SOHCAHTOA

Si lo dividimos verán que es lo mismo que les mostré arriba pero abreviado.

SOH: seno: cateto opuesto\hipotenusaCAH: coseno: cateto adyacente\ hipotenusa

TOA: tangente: cateto opuesto\ cateto adyacente

Entonces nos faltan las otras tres relaciones que es más o menos lo mismo que el SOHCAHTOA pero ahora los denominadores serán los numeradores y vise versa, veamos:

Para hallar los ángulos de:

30,60,120, 150, 210, 240, 300 y 330 grados

se utiliza el siguiente triangulo:

Para los angulos de: 45, 135, 225 y 315 grados:

El circulo unitario:



Se le llama asi ya que su radio es 1.

Problemas de Aplicación de Trigonometría

1.-Halla la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña y la longitud del lado x.

2.- Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.

 

3.-Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia de A a B es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman AB y BC es 120º. ¿Cuánto distan A y C?

 

4.-Una paparatzzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Banderas ; para ello se sube a un árbol de 3'75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2'25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad?

 
5.-Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

6.-Se desea calcular el área de una parcela triangular. Dos de sus lados miden 80 m y 130 m. Con un teodolito se mide el ángulo que forman estos lados, que es 70 º. ¿Cuánto mide el área?

7.-Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle.
¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?

Realiza estos problemas en tu portafolio y comenta con tus compañeros tus resultado

Espero tu comentario de los temas tratados.

Realiza un mapa conceptual acerca de los temas tratados.

MAS APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Trigonometria

La trigonometría

 

 Definición:

 Es una rama de la Matematica que relaciona los elementos del triangulo ,es decir entre lados y angulos de un triangulo.

 

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno ,coseno ,tangente, cotangente secante y cosecante.

 

 

Historia:

 

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades pre-helénica carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.

 

 

Papiro de Ahmes

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.

Aplicaciones Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometria, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía, para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Describe cada uno de las aplicaciones sugeridas en estas imágenes y luego de ver el video  realiza un comentario