Una
aplicación del Teorema de Tales.
TEOREMA DE TALES
Como
definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos
triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales
y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno
de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus
lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
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Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición
de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede
enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos
no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación
del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la
condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente
corolario.
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre
ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello
significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se
mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del
teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de
corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el
mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es,
que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple
que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es
evidente; según Heródoto, el propio Tales
empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops
en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se
demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente
entre sus lados.
A Tales se le atribuyen los cinco teoremas siguientes:
- Los
ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
- Un
círculo es bisecado por algún diámetro.
- Los
ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.
- Dos
triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
- Todo
ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Elaboró un conjunto de
teoremas generales y de razonamientos deductivos en base a los conocimientos
adquiridos en Egipto. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en
su obra: Elementos, pero se debe a Thales el mérito de haber introducido
en Grecia, el interés por los estudios geométricos.
Es considerado el
primer matemático, padre de la geometría deductiva. La tradición le
atribuye los cinco teoremas siguientes, que posiblemente aprendió en sus
viajes como comerciante por Babilonia, e incluso alguna demostración del último
de ello
Teoremas
·
Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su
diámetro.
·
Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.
·
Los ángulos opuestos por el vértice que forman al
cortarse una recta son iguales.
·
Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de
uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don
congruentes.
·
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un
ángulo recto.
El teorema de Thales dice que el ángulo
A es recto, pues está inscrito en una semicircunferencia
Si tres o más rectas paralelas son
intersecadas cada una por dos transversales determinados por las paralelas, son
proporcionales.
Según este teorema, una familia de
rectas paralelas, r1, r2, r3,…, que cortan a dos rectas concurrentes, s y t,
determinan en ellas segmentos proporcionales:
Aplicaciones
del Teorema de Thales
1. Si
una recta es paralela a uno de los lados de un triangulo y corta a los otros
dos lados, entonces divide a estos dos lados en segmentos proporcionales.
